Dağların yüksekliğinin bir sonu var mı?

Başlıkta okuduğunuz gibi bir dağın yüksekliğinin sınırı var mıdır? Yoksa koşullar elverse sonsuza kadar yükselir mi? Bu yazı bir önceki yazımın bittiği yerden başlıyor. Bir bakıma denk de geldi, çünkü zaten bu soruya yüksek lisans yaparken aldığım bir hesaplama dersinde rastlamıştım [1]. İsterseniz sadece temel lise fizik bilgilerimizle bu soruyu yanıtlamaya çalışalım. Bu yazıda erozyon etkilerini hiçbir şekilde irdelemeyeceğim.

a. Mineral fazına bağlı stabilite analizi

Şekil 1. Basitleştirilmiş silindir şeklinde bir dağın karşıdan görüntüsü. Parametre ve değişkenler ana metinde açıklanmaktadır (Shiu-sing ve Pak-ming’den değiştirilerek alınmıştır [2])

Dağ geometrisini basitleştirerek taban alanı A olan bir silindir olarak kabul edelim (Şekil 1) [2]. Bu durumda bir dağ ne kadar yüksek ise, kütlesi ve dolayısıyla ağırlığı o kadar fazla olacaktır. Dağlar çoğunlukla silikat minarellerinden oluşan dünyanın en üst katmanında yer alır. Tabii ki istisnai kabuk özellikleri de vardır ama şimdilik basit kabullerle hareket edelim. Dağın ağırlığından kaynaklanan basınç tabanda çok yüksektir. Demek ki, bir dağın yüksekliği için koyabileceğimiz kısıtlardan biri şudur: öyle bir yüksekliğe sahip olsun ki tabandaki katı haldeki silikat mineralleri ağırlığın sebep olduğu basınç koşullarının etkisiyle katı fazı terk etmesin; erimesin. Çünkü tabanda erime olduğu zaman dağ batar!

Şekildeki parametrelerimize bu gözle bakarsak, h halihazırda tabanda erimenin gerçekleştiği dağın yüksekliği, \delta ise tabanda erime olduğu zaman kaybolan tabaka kalınlığını göstersin. Şimdi lisede öğrendiğimiz temel fizik bilgilerimizi kullanarak enerjiye bağlı bir eşitsizlik yazacağız. \delta kalınlığındaki tabakayı eritmek için ihtiyacımız olan enerji miktarı, eriyen kütle ile silikat minerallerinin gizil erime ısısının (E_f ) çarpımı olarak ifade edilir: Q = \delta A\rho E_f . Erime olduğunda dağ \delta kadar yükseklik kaybettiğinden, açığa çıkan (yerçekimsel) potansiyel enerjiyi de \Delta P= \delta A\rho g h şeklinde yazabiliriz. Bu potansiyel enerji termodinamiğin ikinci kanunu gereği ısıya dönüştüğünden, eğer açığa çıkan ısı tabandaki tabakayı eritmek için gerekli ısıdan daha az ise dağ ayakta durabilir.

Şekil 2. Mons Olympus (21,000 m). Fotoğrafın kaynağı: Wikipedia (url)

Uzun lafın kısası \Delta P < Q bizim kararlılık koşulumuz olur. \Delta P ve Q‘nun karşılıklarını eşitsizlikte yerine koyarsak son ifade olarak h < \frac{E_f}{g} buluruz. Formülde sayısal değerleri yerleştirirsek h < \frac{2.37\times 10^5 J/kg}{9.81 m/s^2}, yani h < 24.2 km olacaktır [1]. “Bula bula bunu mu buldun!” laflarını duyar gibiyim. En azından yanlış değil!! Şaka bir yana ilk kısıtlayıcı değerimiz dünyada 24 km’den daha yüksek dağların olamayacağını söylüyor. Dahası, kütleçekim ivmesinin daha az olduğu gezegenlerde dağların daha yüksek olması sonucunu da ortaya koyuyor. Örneğin Mars’taki Mons Olympus 21 km yüksekliğiyle güneş sisteminin en yüksek dağıdır! Küçük bir not, dünyadaki dağlardan bahsederken mount, diğer gezegenlerde yer alan dağlardan bahsederken ise mons terimi kullanılır. Erimeye sebep olacak enerji eşitsizliğini lise fiziğinden biraz daha ileri biçimde kullanan Shiu-sing ve Pak-ming, h < 4.9 km sonucunu bulmaktalar [2].

Şimdi biraz ilk modeldeki kabulümüzü irdeleyelim; yani “ağırlığın sebep olduğu basınç koşullarının etkisiyle katı fazı terk etmesi” kabulünü. Dünyanın sıcaklığının derinliğe bağlı olarak değişimini gösteren eğriye bakacak olursak – yani jeoterm (Şekil 3, sağdaki panelde gösterilen kırmızı eğri) – 20 km derinlikte sıcaklığın 250 – 300 derece civarında olduğunu görürüz. Oysa ki üst kabuğu oluşturan granitik bileşimdeki kayaçlarda (bunlar silikat yoğun kayaçlardır, başka birşeyden bahsettiğimi zannetmeyin) erime en erken 600 derecede başlar [biotit içeren bir granit için deneysel olarak oluşturulmuş faz diyagramı için bkz. Stern ve Wyllie (1981), 4]. Demek ki, potansiyel enerji kaybı, ısıya o denli etkin biçimde dönüşmüyormuş. Yani ilk hesabımız seçtiğimiz yöntem hatalı ya da eksikmiş. Eksik olmasının önemli sebeplerinden birisi kayacın bünyesindeki olabilecek suyun faz diyagramlarında dikkate alınmaması; basınç hesaplarken boşluk basıncı teriminin yok sayılması olarak özetlenebilir. Bu sonucu biraz daha detaylı biçimde incelemek için Figür 3’deki derinliğe bağlı deformasyon mekanizması grafiğine bir göz atalım. Bu grafiğe göre mavi ile gösterilen eğri, sıkışmalı bir rejimde (Dağları yükseltmek için tipik bir sıkışmalı rejimi kabul ettim) ve turuncu ile gösterdiğim yoğunluk profilini dikkate alarak hesapladığım kırılgan dayanım eğrisi. Siyah ile gösterdiğim eğri ise deformasyon “viskoz” olsaydı, yani akışkan gibi davransaydı, litosfer hangi gerilme değerinde “kuvveti kesilirdi”yi gösteren eğri. Bu iki eğriden her derinlik için en ufak olan değer bize o derinlikteki dayanımı söyleyecektir; çünkü diferansiyel gerilme eğrilerden zayıf olana geldiğinde tükenme olacaktır -en zayıf halka. Şekle dönersek, aşağı yukarı 24 km’den sığ bölgelerde deformasyonun kırılma biçiminde meydana geldiğini söyleyebiliriz.

Şekil 3. Yılbaşı ağacı grafiği [3]. Bu grafik standart bir kabuk için (35 km kalınlık ve silikat baskın bileşim) hangi derinlikte ne tip bir deformasyonun bekleneceğini kabaca ortaya koymaktadır. Bu grafiği oluşturmak üzere daha gerçekçi bir yoğunluk profili (turuncu) ile hesaplanabilecek basınç (mavi) ve sıcaklığın derinliğe bağlı değişimi (kırmızı) ile buna bağlı aktive olarak gelişen viskoz dayanım (siyah) profilleri çizilmiştir. Siyah ve mavi çizgilerin kesiştiği nokta deformasyonun kırılgan moddan akışkan moda dönüştüğü duruma tekabul eder.

Ayrıca ilk modelde dağ yamacını düşey kabul etmiştik -kaya tırmanışına gönül veren insanları da bu şekilde bir nebze memnun etmek art niyetini de güderek. Oysa ki gerçekte bir dağı ancak ve ancak yamaçlarınının kararlı bir açıda bulunduğu koşullarda denge konumunda tutabiliriz. O yüzden, şimdi (a)’da yaptığımız hesabı konik bir dağ için ve kırılgan deformasyon şartını kullanarak tekrarlayalım (Şekil 3).

b. Konik dağ
Bu problemin çözümüne internetteki bir blog sayfasında da rastlamıştım (url), isterseniz oraya da bir göz gezdirebilirsiniz. Stabilite şartımız bu sefer şöyle: “dağın tabanındaki basınç (\sigma), silikatlı kayaların eşik basınç dayanımından (\sigma_e) daha az olmalı ki, dağ ayakta durabilsin”. Bu arada dağın tabanı kırılırsa, bir ağaç gibi devrilmeyecektir, aman yanlış anlaşılma olmasın?!

Şekil 3. Biraz daha gerçekçi bir dağ profili

Dağın tabanındaki basınç dağın ağırlığının taban alanına oranıdır. Ağırlığın da hacim ile yoğunluğun çarpımı olduğunu biliyoruz. Koni için ağırlık W=\frac{\pi r^2h}{3}g \rho ve basınç \sigma = W/(\pi r^2) = h g \rho/3 olur. Şimdi kararlılık şartımızı tekrar yazalım: \sigma < \sigma_{e} . Granit için basınç dayanımını 100 – 250 MPa arasında değişmektedir. Yine sayısal değerleri yerine koyarsak, h< 15\pm 5 km olarak buluyoruz. Bir önceki hesaba göre şimdi elde ettiğimiz değer daha makul. Ancak yine de dünyadaki en yüksek dağ olan Everest (8,848 m)’ten iki kat daha yüksek bir değer bulduk. Fakat unutmayın, tabandan tepesine olan mesafeyi dikkate alırsak dünyanın en yüksek dağı Hawaii’deki Maona Kea (11,203 m) olacaktır (link). Bu durumda elimizdeki sonuç ile gözlem en azından mertabe bakımından birbirini tutuyor.

İsterseniz karşılaştırma yapmak amacıyla kırılgan dayanım koşulunu silindirik dağ için de yazalım. Silindirik dağ modelinde tabandaki basınç, basınç dayanımından küçük olmalı: h\rho g < \sigma_e. Sayısal değerleri yerine koyarsak \le 6.6\pm 3.2 km olacaktır. Yani konik ile silindirik profiller arasında yaklaşık geometrik faktör 2 oluyor. Dikkat ederseniz maksimum yükseklik bu hesaptan 9.2 km çıkıyor. Yani mertaba olarak hem Everest hem de Maona Kea’ya yakın bir değer.

Bütün bu hesaplarda malzeme özelliklerinin tekdüze (uniform) olduğunu kabul ettik. Oysa ki ne dağları meydana getiren kayaçlar bileşen olarak tekdüzedir ne de yapısal olarak tekdüzedir. Kayaçlar ciddi miktarda kırık, çatlak ve eklem düzlemleri içerirler. Bu kadar zayıf düzlem ise dağın dayanımını hesaplarken kullandığımız eşik gerilme değeri olarak basınç dayanımından ziyade kayma dayanımı üzerinden hesap yapılmasını gerektirir. Ki bu durumda daha düşük bir dayanım değerini kullanmak zorunda kalacaktık. İşte Scheuer [5] konik şekilli bir dağı kabaca köşegen biçiminde kateden bir düzlemi dikkate alarak kayma mukavemetiyle bir hesap yapmış (bu makale birazcık daha kazık). Bu hesaba göre, dünya üzerindeki en yüksek dağ için elde ettikleri sonu. 2,250 m! Scheuer’e göre sonucun bu kadar düşük çıkmasındaki esas etken izostasi.

Peki izostasinin görevi ne diye sorduğunuzu duyar gibi oluyorum. İzostasi, dağların altında onları yukarıda tutan bir kök kısmın olduğunu kabul eder. Hakikaten Alp-Himalaya veya And dağlarının çevrelerindeki alçak bölgelere kıyasla daha kalın bir kabuğa sahip olduğunu ölçebiliyoruz. Dağın kök kısmı alt kabukta daha yüksek sıcaklık ve basınç koşullarına maruz kalmakta ve uzun zaman ölçeklerinde akabilmektedir. Bu yüzden dağ profilinin statiğini ifade edebilmek için aynı zamanda bu kök kısmın stabilitesini yazmak gerekecektir. İsterseniz bu kısmı ilerideki bir yazıda ele almalım. Fakat ben de bir sonraki yazımda isostasinin nelere kadir olduğunu gösterebilmek amacıyla plato oluşumunu anlatmaya çalışacağım.

Katkı belirme
Yazının müsveddesini okuyarak önerilerini sunan Kaan Öztürk ve Sinan Özeren’e teşekkür ederim.

Referanslar
1 Harte, J. (2001). Consider a cylindrical cow: more adventures in environmental problem solving. University Science Books, s67-68.
2 Shiu-sing, T. ve Pak-ming, H. (son erişim tarihi: 2012), url.
3 Ranalli, G (1995). Rheology of the Earth. Springer.
4 Stern, C.S ve Wyllie, P.J (1981). Phase relations of I-type granite with H2O to 35 kilobars: The Dinkey Lakes Biotite-Granite from the Sierra Nevada batholith. J. Geophys. Res., v.86, pp10412-10422
5 Scheuer, P.A.G. (1981). How high can a mountain be? J. Astrophys. Astr., v.2, p165 – 169. url:http://www.ias.ac.in/jarch/jaa/2/165-169.pdf


3 thoughts on “Dağların yüksekliğinin bir sonu var mı?

  1. Pingback: Platolar | DağDelisi

Yorumunuzu buraya bırakın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s